题目内容

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
2
，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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（1）求等腰梯形DEFG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．
分析：（1）利用辅助线的帮助过点GM⊥BC于M．推出2GF=BC，G为AB中点可知GM的值．从而求出梯形面积．
（2）①BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=
1
2
AB=2时，四边形BDG′G为菱形．
②本题要分两种情况解答（0≤x＜2
2
以及2
2
≤x≤4
2
）．
解答：解：如图，（1）过G点作GM⊥BC于M，
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∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4
2
，G为AB中点
∴GM=
2

又∵G，F分别为AB，AC的中点
∴GF=
1
2
BC=2
2

∴S梯形DEFG=
1
2
（2
2
+4
2
）×
2
=6
∴等腰梯形DEFG的面积为6

（2）①能为菱形．
如图：
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由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形
当BD=BG=
1
2
AB=2时，四边形BDG′G为菱形
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形
②分两种情况
1、当0≤x＜2
2
时，
方法一：
∵GM=
2
，
∴S?BDG′G=
2
x
∴重叠部分的面积为y=6-
2
x
∴当0≤x＜2
2
时，y与x的关系式为y=6-
2
x
方法二：
当0≤x＜2
2
时，
∵FG′=2
2
-x，DC=4
2
-x，GM=
2

∴重叠部分的面积为y=
(2
2
-x)+(4
2
-x)
2
×
2
=6-
2
x
2、当2
2
≤x≤4
2
时，
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设FC与DG′交于点P，则∠PDC=∠PCD=45°
∴∠CPD=90°，PC=PD
作PQ⊥DC于Q，则PQ=DQ=QC=
1
2
(4
2
-x)
∴重叠部分的面积为y=
1
2
×
1
2
(4
2
-x)×（4
2
-x）=
1
4
x2-2
2
x+8
点评：此题主要考查勾股定理、三角形中位线、等腰梯形的性质及菱形性质等知识点的综合运用，要求学生对所学知识能灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．
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（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=
1
4
x2-6与直线y=
1
2
x相交于A，B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；
（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式
1
OC2
+
1
OD2
=
1
OM2
是否成立；
（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：
1
a2
+
1
b2
=
1
h2
．
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如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．试探究线段FD、FE的数量关系，并加以证明．
说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，可以从图2、3中选取一个，并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的证明．
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如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教网
（1）求AA1的长；
（2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
 
；
（3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
 
；
（4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
 
．

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