题目内容
如图1,在Rt△ABC中,AB=AC=3,BD为AC边的中线,AB
1⊥BD交BC于B
1,B
1A
1⊥AC于A
1.

(1)求AA
1的长;
(2)如图2,在Rt△A
1B
1C中按上述操作,则AA
2的长为
;
(3)在Rt△A
2B
2C中按上述操作,则AA
3的长为
;
(4)一直按上述操作得到Rt△A
n-1B
n-1C,则AA
n的长为
.
分析:(1)根据等角的余角相等,得∠A
1AB
1=∠ABD,从而根据两角对应相等,证明△A
1AB
1∽△ABD.设A
1A=x,则A
1B
1=A
1C=3-x,根据相似三角形的性质即可求解.
(2)根据(1)的求解过程,易知A
1A
2是1的
,从而求解;
(3)、(4)根据(1)、(2)的结论,即可推而广之.
解答:解:(1)∵在Rt△ABC中,AB=AC=3,BD为AC边的中线,
∴AD=
.
∵在Rt△ABC中,AB
1⊥BD,
∴∠A
1AB
1=∠ABD,
∴△A
1AB
1∽△ABD.
根据题意,易知△A
1B
1C是等腰直角三角形.
设A
1A=x,则A
1B
1=A
1C=3-x,
∴
=,
即
=,
解得x=2.
即AA
1=2.
(2)根据(1)的求解过程,得A
1A
2=
,
则AA
2=
.
(3)根据(2)、(3)的结论,推而广之,则AA
n=
.
点评:此题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质,要求学生能够从已知的式子中找出规律.能够从特殊到一般推而广之
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