Question

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,圆周角定理

专题：几何综合题

分析：（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，
（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．

解答：解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
AC=

AB2-BC2

=

102-52

=5

3

（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD=

2

2

AB=

2

2

×10=5

2

cm；

（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
即OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．

点评：本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．