题目内容

20．（1）AB∥CD，如图1，点P在AB、CD外面时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．如图2，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
（2）如图3，若AB、CD相交于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系（不需证明）？
（3）根据（2）的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
（4）若平面内有点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7、A6A8、A7 A1、A8 A2，如图5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8的度数是多少（直接写出结果）？
若平面内有n个点A1、A2、A3、A4、A5、…，An，且这n个点能围成的多边形为凸多边形，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7，…，An-1A1、AnA2，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+…+∠An-1+∠An的度数是多少（直接写出结果，用含n的代数式表示）？

分析 （1）延长PB交CD于点E，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质即可求解；
（2）作BE∥CD，则∠EBA=∠BQD，利用（1）的结果和平行线的性质求解；
（3）利用（2）的结果和四边形内角和定理求解；
（4）根据四边形内角和定理即可求得∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8，在根据（3）的规律求解．

解答 解：（1）∠BPD=∠B+∠D 
理由是：延长PB交CD于点E．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BED，
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
（2）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD，
理由是：作BE∥CD，则∠EBA=∠BQD，
又∵根据（1）得∠BPD=∠EBA+∠D，即∠BPD=∠EBA+∠B+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
理由是：根据（2）可得：∠AGB=∠A+∠B+∠E，
又∵∠FGC=∠AGB，
四边形CDFG中，∠FGC+∠C+∠D+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°；
（4）根据四边形内角和定理，得∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8=720°；
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+…+∠An-1+∠An=（n-4）180°．

点评 本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和定理，正确理解每个题目之间的联系是关键．

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