Question

已知抛物线y=x²+kx+2k-4，若抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交于点C（A为定点且点A在B的左侧），且S_△ABC=15．求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：首先判断是否存在第四个交点，由题干条件|x₁|＜|x₂|或者|x₁|＜|x₂|，显然抛物线的对称轴不是y轴，即C点不可能是抛物线的顶点（因为点C不在抛物线的对称轴上），所以解题的关键就转化为如何求k的值，可以从△ABC的面积入手．先得到k的取值范围，进而通过△ABC的面积求出k的值．

解答：解：令y=0，有x²+kx+2k-4=0，
此一元二次方程根的判别式
△=k²-4•（2k-4）=k²-8k+16=（k-4）²，
∵无论k为什么实数，（k-4）²≥0，
方程x²+kx+2k-4=0都有解，
即抛物线总与x轴有交点．
由求根公式得x=

-k±|k-4|

2

，
当k≥4时，x=

-k±(k-4)

2

，x₁=

-k+(k-4)

2

=-2，x₂=

-k-(k-4)

2

=-k+2；
当k＜4时，x=

-k±(4-k)

2

，x₁=

-k+(4-k)

2

=-k+2，x₂=

-k-(4-k)

2

=-2．
即抛物线与x轴的交点分别为（-2，0）和（-k+2，0），
故点A（-2，0）是x轴上的定点．
当-2＜-k+2，即k＜4时，A点坐标为（-2，0），B为（-k+2，0）．
即x₁=-2，x₂=-k+2．
由|x₁|＜|x₂|得-k+2＞2，解得k＜0．
根据S_△ABC=15，得

1

2

AB•OC=15．
AB=-k+2-（-2）=4-k，
OC=|2k-4|=4-2k，
∴

1

2

（4-k）（4-2k）=15，
化简整理得k²-6k-7=0，
解得k=7（舍去）或k=-1．

点评：该题的难度较大，主要涉及了：二次函数与方程的关系以及不等式的应用等综合知识，k的取值范围的确定是本题的难点所在．