Question

如图，抛物线y=﹣x²+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）令y=0，则﹣x²+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，

解得 x₁=﹣1，x₂=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

当x=3时，y=﹣3²+3×3+4=4，

∴D（3，4）．

如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．

∵C（0，4），

∴CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°．

在直角△OBC中，∵OC=OB=4，

∴BC=4．

在直角△CDE中，CD=3．

∴CE=ED=，

∴BE=BC﹣DE=．

∴tan∠DBC==；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．

∵∠CBF=∠DBP=45°，

∴∠PBF=∠DBC，

∴tan∠PBF=．

设P（x，﹣x²+3x+4），则=，

解得 x₁=﹣，x₂=4（舍去），

∴P（﹣，）．