Question

10．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连接DE，CD．
①找出图中全等三角形，并证明；
②求∠ACD的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，若BF=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD，②再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠ACD的度数；
（2）连CD，由（1）知CD=DE，根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°，过D作DM⊥CE于M，根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长．

解答 （1）①△ADC≌△BED，
证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
在△ADC和△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠A=∠B}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△BED（SAS）；

②解：∵△ADC≌△BED，
∴∠ACD=∠BDE，
∵∠B=45°，BC=BD，
∴∠BCD=67.5°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=22.5°；


（2）解：连CD，由（1）知CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC=67.5°，
∴∠CDE=45°，
过D作DM⊥CE于M，
∴CM=ME，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，
∵EM⊥DM，EF⊥DB，
∴EF=EM，
易证EF=BF，
∴CE=2BF=8．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时添加合适的辅助线是难点．