Question

12．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间可近似的看作一次函数：y=-10x+500．
（1）李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他的销售单价应该定在什么范围合适？他每月的成本最少需要多少元？

Answer 1

分析 （1）根据“总利润=每件的利润×每月销售量”得出函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；
（2）根据每月获得的利润不低于2000元及销售单价不得高于32元求得x的取值范围，由总成本=每件成本×销售量得出函数解析式，根据一次函数的性质可得答案．

解答 解：（1）由题意，得：
w=（x-20）•y
=（x-20）•（-10x+500）
=-10x²+700-10000
=-10（x-35）²+2250，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润；

（2）由题意，得：-10x²+700x-10000=2000，
解得：x₁=30，x₂=40，
∵a=-10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当30≤x≤40时，w≥2000，
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000，
设成本为P（元），由题意，得：
∵P=20（-10x+500）=-200x+10000，
∵k=-200＜0，
∴P随x的增大而减小，
∴当x=32时，P_最小=3600，
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意由相等关系列出函数解析式，并由函数性质得出函数的最值是解题的关键．