Question

9．如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）图中存在几对相似三角形？分别是什么？请直接写出来不必证明；
（3）求证：OA²=OE•OF．

Answer 1

分析 （1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可证得∠DAB=∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形；
（2）根据平行相似可以得三角形相似；
（3）由EC∥AB，可得$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$，由AD∥BC，可得$\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}$，等量代换得出$\frac{OA}{OE}=\frac{OF}{OA}$，可得结论．

解答 证明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠EDA=∠ABF，
∴∠DAB=∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）存在6对三角形相似，分别是：
①∵EC∥AB，
∴△ABF∽△ECF；
②由（1）知：AD∥BC，
∴△EDA∽△ECF；
③∵△ABF∽△ECF，△EDA∽△ECF，
∴△ABF∽△EDA；
④∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△ADB∽△CBD；
⑤∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED；
⑥∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA；

（3）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$，
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}$，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OF}{OA}$，
∴OA²=OE•OF．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．