Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD、BC，若∠ABD=2∠BDC．

（1）求证：CE是⊙0的切线

（2）求证：△ABC△CBE

（3）若⊙O的半径为5，tan∠BDC=，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【解析】

（1）连接OC，可证明OC∥DE，由于CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案；

(2)由AB是⊙O的直径，可得，可得，再证∠ECB=∠CAB，即可得出结论；

（3）连接BC，由于∠BDC=∠BAC，所以，设BC=x，AC=2x，所以，列出方程即可求出x的值,利用△ABC△CBE可求出BE的长度．

（1）证明：连接

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∵，

∴

∴，

∴

∵OC为的半径

∴是的切线

（2）连接

∵AB是⊙O的直径

∴

∴

∵∠ECO=∠BCA=90°

∴∠ECB+∠BCO=∠OCA+∠BCO

∴∠ECB=∠OCA

∵

∴∠ECB=∠CAB

∴△ABC△CBE

（3）∵，

∴

∵是的直径

∴

∴

设，

∴

∵的半径为5

∴

∴

∴

∵△ABC△CBE

∴

∴

∴BE=2