Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，已知AB=5，BC=6，cosB=．点O由点B向点C以每秒1个单位的速度沿BC边运动，设运动时间为t秒，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AB边交于点P．

（1）求AD的长；
（2）当t=AD时，如图（2），求BP的长；
（3）点O运动的过程中，过点D的直线DQ与⊙O相切于点Q，交BC于点E，如图（3），当DQ∥AB时，求t的值．

Answer 1

解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=5，cosB=，
∴BE=AB•cosB=3，
∴EC=BC-BE=3，
∵AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠C=∠D=∠AEC=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AD=3；

（2）∵AD=3，
∴当t=AD时，OB=3，
过点O作OF⊥BP于点F，
∴BF=BP，
∵cosB=，
∴BF=BO•cosB=，
∴BP=；

（3）连接OQ
∵DQ∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=3，DE=AB=5，
∴CD==4，
∵BO=t，
∴OE=3-t，
∵直线DQ与⊙O相切于点Q，
∴∠OQE=∠C=90°，
∵∠OEQ=∠DEC，
∴△OQE∽△DCE，
∴，
∴，
解得：t=．
分析：（1）利用锐角三角函数关系得出BE的长，进而得出EC的长，即可得出AD的长；
（2）根据（1）中所求得出BF的长进而得出BP的长；
（3）首先求出CD的长，进而得出△OQE∽△DCE，则，求出t的值即可．
点评：此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定和性质，根据已知得出△OQE∽△DCE是解题关键．