题目内容
已知梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD相交于0，S1，S2，S3，S4分别为△COD、△AOB、△AOD、△BOC的面积．证明：（1）S3=S4=
| S1S2 |
（2）S梯形ABCD=（
| S1 |
| S2 |
考点：面积及等积变换
专题：
分析：（1）由AB∥CD，可得△COD∽△AOB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得
=
①，又由△AOD与△AOB等高，可得S△AOD：S△AOB=S3：S2=OD：OB②，联立①②，即可得S3=S2•
=
，又由△ABC与△ABD同底等高，可得S△ABC=S△ABD，继而证得S4=S3；
（2）由S梯形ABCD=S1+S2+S3+S4，S3=S4=
，即可证得S梯形ABCD=（
+
）2．
| OD |
| OB |
|
|
| S1S2 |
（2）由S梯形ABCD=S1+S2+S3+S4，S3=S4=
| S1S2 |
| S1 |
| S2 |
解答：证明：（1）∵AB∥CD，
∴△COD∽△AOB，
∴
=（
）2，
∴
=
①，
∵△AOD与△AOB等高，
∴S△AOD：S△AOB=S3：S2=OD：OB②，
由①②得：S3：S2=
，
∴S3=S2•
=
，
∵△ABC与△ABD同底等高，
∴S△ABC=S△ABD，
∵S△AOD=S△ABD-S△AOB，S△BOC=S△ABC-S△AOB，
∴S△AOD=S△BOC，
即S4=S3，
∴S3=S4=
；
（2）∵S梯形ABCD=S△COD+S△AOB+S△AOD+S△BOC，
∴S梯形ABCD=S1+S2+S3+S4，
∵S3=S4=
，
∴S梯形ABCD=S1+2
+S2=（
+
）2．
∴△COD∽△AOB，
∴
| S1 |
| S2 |
| OD |
| OB |
∴
| OD |
| OB |
|
∵△AOD与△AOB等高，
∴S△AOD：S△AOB=S3：S2=OD：OB②，
由①②得：S3：S2=
|
∴S3=S2•
|
| S1S2 |
∵△ABC与△ABD同底等高，
∴S△ABC=S△ABD，
∵S△AOD=S△ABD-S△AOB，S△BOC=S△ABC-S△AOB，
∴S△AOD=S△BOC，
即S4=S3，
∴S3=S4=
| S1S2 |
（2）∵S梯形ABCD=S△COD+S△AOB+S△AOD+S△BOC，
∴S梯形ABCD=S1+S2+S3+S4，
∵S3=S4=
| S1S2 |
∴S梯形ABCD=S1+2
| S1S2 |
| S1 |
| S2 |
点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度适中，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比．
练习册系列答案
相关题目
直线y=2x+6可以由y=2x经过向□平移□单位得到（ ）
| A、上 2 |
| B、下 6 |
| C、上 6 |
| D、右 3 |