题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=| 5 |
| 4 |
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
（3）是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问
| M1P•M2P |
| M1M2 |
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）首先求得m的值，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
（2）（4）问较为复杂，如答图所示，分几个步骤解决：
第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；
第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；
第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：
=1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．
（3）分①若C为直角顶点，△ACO相似于△CQE，②若A为直角顶点，△ACO相似于△AQE，两种情况讨论求解．
（2）（4）问较为复杂，如答图所示，分几个步骤解决：
第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；
第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；
第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：
| M1P•M2P |
| M1M2 |
（3）分①若C为直角顶点，△ACO相似于△CQE，②若A为直角顶点，△ACO相似于△AQE，两种情况讨论求解．
解答：解：（1）∵一次函数y=
x+m经过点A（-3，0），
∴m=
，
则C的坐标为（0，
），
∵抛物线经过点A（-3，0）、C（0，
），且以直线x=1为对称轴，
则点B的坐标为（5，0），
∴二次函数为y=-
（x+3）（x-5）或y=-
x2+
x+
；
（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，
），
∴直线BC解析式为y=-
x+
，
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．
（3）存在…（7分）
设Q（x，-
x2+
x+
）
①若C为直角顶点，则由△ACO相似于△CQE，
得x=5.2，
②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，
得x=8.2，
∴Q的横坐标为5.2，7.2．
（4）是定值，定值为1．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，
则直线的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=-
x2+
x+
，
联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．
∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．
根据两点间距离公式得到：
M1M2=
=
=
，
∴M1M2=
=
=4（1+k2）．
又∵M1P=
=
=
；
同理M2P=
∴M1P•M2P=（1+k2）•
=（1+k2）•
=（1+k2）•
=4（1+k2）．
∴M1P•M2P=M1M2，
∴
=1为定值．
| 5 |
| 4 |
∴m=
| 15 |
| 4 |
则C的坐标为（0，
| 15 |
| 4 |
∵抛物线经过点A（-3，0）、C（0，| 15 |
| 4 |
则点B的坐标为（5，0），
∴二次函数为y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，
| 15 |
| 4 |
∴直线BC解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．
（3）存在…（7分）设Q（x，-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
①若C为直角顶点，则由△ACO相似于△CQE，
得x=5.2，
②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，
得x=8.2，
∴Q的横坐标为5.2，7.2．
（4）是定值，定值为1．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，
则直线的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．
∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．
根据两点间距离公式得到：
M1M2=
| (x1-x2)2+(y1-y2)2 |
| (x1-x2)+k2(x1-x2)2 |
| 1+k2 |
| (x1-x2)2 |
∴M1M2=
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 1+k2 |
| (2-4k)2-4(-4k-3) |
又∵M1P=
| (x1-1)2+(y1-3)2 |
| (x1-1)2+(kx1+3-k-3)2 |
| 1+k2 |
| (x1-1)2 |
同理M2P=
| 1+k2 |
| (x2-1)2 |
∴M1P•M2P=（1+k2）•
| (x1-1)2(x2-1)2 |
| [x1x2-(x1+x2)+1]2 |
| [-4k-3-(2-4k)+1]2 |
∴M1P•M2P=M1M2，
∴
| M1P•M2P |
| M1M2 |
点评：本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点：代数方面，考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了两点间的距离公式、轴对称-最短路线问题等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．
练习册系列答案
活力课时同步练习册系列答案
学业测评一课一测系列答案
相关题目
如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P，Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，设动点P、Q运动时间为t（单位：s）
如图，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2-2ab+b2=0，直线OQ与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长．