题目内容
如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中
的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为______；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是______；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；
（4）求OA的长．
[（2），（3），（4）中的结果保留π]．
【答案】分析：（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；
（2）根据位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等求出
的长，再根据弧长公式求出
的长，进而可得出结论；
（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH=
=
即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出
的长，
解答：
解：（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2，
∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
故答案为：2，相切；
（2）位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，
∵
的长为
=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（4分）
（3）点N所经过路径长为
=2π，（5分）
S半圆=
=2π，S扇形=
=4π，
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．（7分）
（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=
=
，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
从而
的长为
=
，于是OA的长为π+4+
π=
π+4．（10分）
点评：本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等的数量关系．
（2）根据位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH=
=即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出的长，解答：
解：（1）∵⊙P的直径=4，∴⊙P的半径=2，
∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
故答案为：2，相切；
（2）位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，∵
的长为=π，NP=2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（4分）
（3）点N所经过路径长为
=2π，（5分）S半圆=
=2π，S扇形==4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．（7分）
（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=
=，∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
从而
的长为=，于是OA的长为π+4+π=π+4．（10分）点评：本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等的数量关系． 
练习册系列答案
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⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
位置关系是