题目内容
(2011•葫芦岛)如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.
解答下列问题:
(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为
(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;
(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;
(4)求OA的长.
[(2),(3),(4)中的结果保留π].
解答下列问题:
(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为
2
2
;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切
相切
;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;
(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;
(4)求OA的长.
[(2),(3),(4)中的结果保留π].
分析:(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;
(2)根据位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等求出
的长,再根据弧长公式求出
的长,进而可得出结论;
(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接PA,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH=
=
即可∠NPH、∠MPA的度数,进而可得出
的长,
(2)根据位置Ⅰ中
ON |
ON |
ON |
(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接PA,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH=
NH |
PN |
1 |
2 |
MA |
解答:解:(1)∵⊙P的直径=4,
∴⊙P的半径=2,
∵⊙P与直线有一个交点,
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;
故答案为:2,相切;
(2)位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等,
∵
的长为
=π,NP=2,
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(4分)
(3)点N所经过路径长为
=2π,(5分)
S半圆=
=2π,S扇形=
=4π,
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(7分)
(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接PA,则四边形PHCA为矩形.
在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC-HC=NC-PA=1,
于是sin∠NPH=
=
,
∴∠NPH=30°.
∴∠MPA=60°.
从而
的长为
=
,于是OA的长为π+4+
π=
π+4.(10分)
∴⊙P的半径=2,
∵⊙P与直线有一个交点,
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;
故答案为:2,相切;
(2)位置Ⅰ中
ON |
∵
ON |
90π•2 |
180 |
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(4分)
(3)点N所经过路径长为
90π•4 |
180 |
S半圆=
180π•22 |
360 |
90π•42 |
360 |
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(7分)
(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接PA,则四边形PHCA为矩形.
在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC-HC=NC-PA=1,
于是sin∠NPH=
NH |
PN |
1 |
2 |
∴∠NPH=30°.
∴∠MPA=60°.
从而
MA |
60π•2 |
180 |
2π |
3 |
2 |
3 |
5 |
3 |
点评:本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等的数量关系.
ON |
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