Question

【题目】在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD'P，PD'的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．现有以下结论：

①连接DD'，则AP垂直平分DD'；

②四边形PMBN是菱形；

③AD2＝DPPC；

④若AD＝2DP，则；

其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据折叠的性质得出AP垂直平分DD'，判断出①正确．

过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2＝AGGB，即AD2＝DPPC判断出③正确；

DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB，从而可知PM＝MB＝AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；判断出②正确；

由于，可设DP＝1，AD＝2，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，从而求出GB＝PC＝4，AB＝AG+GB＝5，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得 ，，从而可求出EF＝AF﹣AE＝AC﹣＝AC，从而可得，判断出④错误．

解：∵将△ADP沿AP翻折得到△AD'P，

∴AP垂直平分DD'，故①正确；

解法一：过点P作PG⊥AB于点G，

∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，

∴AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC

∵∠APB＝90°，

∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，

∴∠APG＝∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2＝AGGB，

即AD2＝DPPC；

解法二：易证：△ADP∽△PCB，

∴，

由于AD＝CB，

∴AD2＝DPPC；故③正确；

∵DP∥AB，

∴∠DPA＝∠PAM，

由题意可知：∠DPA＝∠APM，

∴∠PAM＝∠APM，

∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，

即∠ABP＝∠MPB

∴AM＝PM，PM＝MB，

∴PM＝MB，

又易证四边形PMBN是平行四边形，

∴四边形PMBN是菱形；故②正确；

由于，

可设DP＝1，AD＝2，

由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，

∵PG2＝AGGB，

∴4＝1GB，

∴GB＝PC＝4，

AB＝AG+GB＝5，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴

又易证：△PCE∽△MAE，AM＝AB＝

∴，

∴，

∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣＝AC

∴，故④错误，

即：正确的有① ② ③，

故答案为：① ② ③．