Question

如图，已知直线y=

3

4

x+3与双曲线y=

k

x

相交于C、D两点，与x轴，y轴分别相交于A、B两点，若CD=3，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：探究型

分析：将y=

3

4

x+3和y=

k

x

组成方程组，分别建立关于x和y的一元二次方程，求出C、D的水平距离和垂直距离表达式，利用勾股定理建立关于k的方程，解答即可．

解答：解：将y=

3

4

x+3和y=

k

x

组成方程组得，

y= 3 4 x+3 y= k x

，
整理得，

3

4

x+3=

k

x

，
即3x²+12x-4k=0，
则C、D的水平距离为|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(-4)2-4(- 4 3 k)

=

16+ 16k 3

；
将y=

3

4

x+3和y=

k

x

组成方程组得，

y= 3 4 x+3 y= k x

，
整理得4y²=3k+12y，
即4y²-12y-3k=0，
则C、D的垂直距离为|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

32-4(- 3 4 k)

=

9+3k

；
由勾股定理得，16+

16

3

k+9+3k=3²；
解得，k=-

48

25

．
故答案为-

48

25

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将此题转化为水平距离和垂直距离是解答的关键．