Question

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DB∥AF，对角线AC，BD相交于点E．
（1）△ADE和△BCE的面积分别是4cm²和9cm²，求△ACF的面积；
（2）设△ADE，△BCE的面积分别是S₁，S₂，你能用S₁和S₂来表示梯形ABCD的面积S吗？

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥CF于H，根据已知条件得到四边形AFBD是平行四边形，由平行四边形的性质得到BF=AD，通过△ADE∽△BCE，得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{4}{9}$，于是得到$\frac{AE}{CE}$=$\frac{2}{3}$，求得S_△CDE=6，S_△ABE=6，即可得到结论；
（2）由于AD∥BC，得到△ADE∽△BCE，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，求得$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，证得S_△CDE=$\frac{{S}_{1}\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{{S}_{1}}}$，S_△ABE=$\frac{{S}_{2}\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AH⊥CF于H，
∵AD∥BC，DB∥AF，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴BF=AD，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△CDE=6，S_△ABE=6，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AH=4+6+6+9=25，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$（BF+BC）•AH=25；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，
∴S_△CDE=$\frac{{S}_{1}\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{{S}_{1}}}$，S_△ABE=$\frac{{S}_{2}\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，
∴S_梯形ABCD=S_△ADE+S_△CDE+S_△ABE+S_△BCE=S₁+S₂+$\frac{\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}}{{S}_{1}}$S₁+$\frac{\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}}{{S}_{2}}$S₂．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质，平行四边形的判定和性质，图形的面积的计算，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．