题目内容
7．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+3x与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于O、B两点，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）．点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，MN与点B始终在PQ同侧，且PN=1．设点P的横坐标为m（m＞0），矩形PQMN的周长为C．（1）用含m的代数式表示点P的坐标．
（2）求C与m之间的函数关系式．
（3）当矩形PQMN是正方形时，求m的值．
（4）直接写出矩形PQMN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．
分析 （1）把x=m代入y=ax2+bx，即可求得纵坐标．
（2）分别求出矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式即可．
（3）分两种情形列出方程即可解决．
（4）分三种情况表示出P的横坐标即可．
解答 
解：（1）∵P在抛物线y=-x2+3x上，且点P的横坐标为m（m＞0），
∴点P的坐标为：（m，-m2+3m）
（2）∵PQ∥y轴，
∴Q（m，m）．
∵MN与点B始终在PQ同侧，且PN=1．设点P的横坐标为m（m＞0），
∴0＜m＜2时，如图1中，
PQ=-m2+3m-m=-m2-2m，
C=2（-m2+2m）+2=-2m2+4m+2．
（3）∵矩形PQMN是正方形，
∴PQ=PN=1，
当0＜m＜2时，如图3中，
-m2+2m=1，解得m1=m2=1．
当m＞2时，如图4中，
m2-2m=1，
解得m1=1+$\sqrt{2}$，m2=1-$\sqrt{2}$（不合题意舍弃）；
（4）由图3可知当m=1时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；
∵抛物线y=-x2+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$
∴顶点的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$），
当M点在抛物线上时，∵Q（m，m）．
∴M（m+1，m+1），
∴m+1=-（m+1）2+3（m+1），
解得m=2，
∴当$\frac{3}{2}$≤m＜2时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；
当Q的纵坐标为$\frac{9}{4}$时，Q的横坐标为$\frac{9}{4}$，
∴此时P的横坐标为$\frac{9}{4}$，
∴当m＞$\frac{9}{4}$时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；
综上，当m=1或$\frac{3}{2}$≤m＜2或m＞$\frac{9}{4}$时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点．
点评 本题考查二次函数综合题、矩形、正方形的有关性质，学会用待定系数法求二次函数解析式，学会分段讨论的思想，需要正确画出图形，用方程的思想解决问题，是数形结合的好题目，属于中考压轴题．
名校课堂系列答案| A． | ab＞0 | B． | a-b＞0 | C． | a2+b＞0 | D． | a+b＞0 |
| AQI指数 | 质量等级 | 天数（天） |
| 0-50 | 优 | m |
| 51-100 | 良 | 44 |
| 101-150 | 轻度污染 | n |
| 151-200 | 中度污染 | 4 |
| 201-300 | 重度污染 | 2 |
| 300以上 | 严重污染 | 2 |
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．
阜阳文峰塔，位于安徽阜阳城中心干道颍州路附近，于康熙三十五年（1796）建文峰塔，以振兴阜阳文风，小王在A处测得塔顶D的仰角为60°，在B处测得塔顶D的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，已知AB高为13.5米，求中江塔CD的高度．（结果精确到个位）
| 组员 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 | 平均成绩 |
| 成绩 | 91 | 89 | ★ | 90 | 92 | 90 |