Question

5．要使方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ay=5}\\{y-x=6a}\end{array}\right.$有正整数解，则a的值是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 审题可知这是一道含有字母系数的二次方程组，首先代入消元得到含有字母a的一元二次方程：x²+2ax+12a²-5=0，用公式法求出方程的根-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$：利用判别式分析得出a＜$\frac{8}{11}$，再根据“解为正整数，y-x=6a”得出6a为整数，a的绝对值只能取值为：$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，最后代入根的公式，根据解为正整数进行检验．

解答 解：
方程组消元得：x²+2ax+12a²-5=0
用公式法求得方程的根为：x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，由△=-44a²+20≥0，得出|a|≤$\sqrt{\frac{5}{11}}$，
由x和y都是正整数知y-x=6a为整数，所以|a|的可能值为：$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$
把a的值代入求根公式计算：当a=$\frac{1}{2}$时，x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，x=1（满足题意）或x=-2（舍去）
当a=$\frac{1}{6}$时，x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，x=2（满足题意）或x=$-\frac{7}{3}$（舍去）
依次验证得出：只有$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{6}$满足题意．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$．

点评 此题主要考查了方程组的消元法，以及对于一元二次方程的根的探索研究，在解决此题时，认真分析，分别讨论是关键，做题一定不要漏解．