如图.在等边△ABC中.AB=6.AD⊥BC于点D．点P在边AB上运动.过点P作PE∥BC.与边AC交于点E.连结ED.以PE.ED为邻边作?PEDF．设?PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y.线段AP的长为x．(1)求线段PE的长．(2)当四边形PEDF为菱形时.求x的值．(3)求y与x之间的函数关系式．(4)设点A关于直线PE的对称点为点A′.当线段A′B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC于点D．点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC，与边AC交于点E，连结ED，以PE、ED为邻边作?PEDF．设?PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x＜6）．
（1）求线段PE的长．（用含x的代数式表示）
（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值．
（3）求y与x之间的函数关系式．
（4）设点A关于直线PE的对称点为点A′，当线段A′B的垂直平分线与直线AD相交时，设其交点为Q，当点P与点Q位于直线BC同侧（不包括点Q在直线BC上）时，直接写出x的取值范围．

分析（1）证明△APE是等边三角形，即可求解；
（2）四边形PEDF为菱形时，AE=DE，然后证明DE=EC即可得到E是AC的中点，则P是AB的中点，据此即可求解；
（3）当x=3，即P是AB的中点时，PE=$\frac{1}{2}$BC，则F与B重合，当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，当3＜x≤6时，重合部分是梯形PEDB，根据平行四边形和梯形的面积公式即可求解；
（4）首先求得当A'B的中垂线正好经过点D时x的值，据此即可求解．

解答解：（1）∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
又∵△ABC是等边△，
∴△APE是等边三角形，
∴PE=AP=x（0＜x＜6）；

（2）∵四边形PEDF为菱形，
∴PE=DE=x，
又∵△APE是等边三角形，则AE=PE，
∴AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴DE=EC=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=3．
即x=3；

（3）当x=3，即P是AB的中点时，PE=$\frac{1}{2}$BC，则F与B重合．
则当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，如图1．
等边△ABC中，AD=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，等边△APE中，AM=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
则DM=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
则y=x（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+3$\sqrt{3}$x；
当3＜x＜6时，重合部分是梯形PEDB，如图2．
则y=$\frac{1}{2}$（PE+BD）•DM=$\frac{1}{2}$（x+3）•（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}$；

（4）情形一：当A′在BC上方时，如图3所示，
当A′B的中垂线正好经过点D时，A′D=BD=3，
则AA′=3$\sqrt{3}$-3．
则AM=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-3），
∴x=AP=$\frac{\frac{1}{2}（3\sqrt{3}-3）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3-$\sqrt{3}$．
则x的取值范围是：0＜x＜3-$\sqrt{3}$．
情形二：当A′在BC上时，PQ∥AD，如图4所示，
AP=A′P=BP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3．
情形三：当A′在BC下方时，如图5所示，
当A′B的中垂线正好经过点D时，A′D=BD=3，
则AA′=3$\sqrt{3}$+3．
则AM=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+3），
∴x=AP=$\frac{\frac{1}{2}（3\sqrt{3}+3）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3+$\sqrt{3}$．
则x的取值范围是：3＜x＜3+$\sqrt{3}$．
综上所示，x的取值范围为0＜x＜3-$\sqrt{3}$或3＜x＜3+$\sqrt{3}$．