Question

6．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=4，求该矩形的对角线的长．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²-1=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可，
（2）当k=4时，原方程x²-5x+5=0，设方程的两根是x₁、x₂，则矩形两邻边的长是x₁、x₂，求出x₁²+x₂²，再根据勾股定理即可得出该矩形的对角线的长．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²-1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴[-（k+1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）＞0，
解得k＞$\frac{3}{2}$．
则k的取值范围是k＞$\frac{3}{2}$．
（2）当k=4时，原方程x²-5x+5=0，
设方程的两根是x₁、x₂，则矩形两邻边的长是x₁、x₂，
∵x₁+x₂=5，
x₁x₂=5，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=15，
∴该矩形的对角线的长=$\sqrt{15}$．

点评 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．