Question

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE．

（1）请判断△PDE的形状，并给予证明；
（2）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）首先证明△BCP≌△DCP，得出∠CBP=∠CDP，PD=PB，根据PE=PB可得∠CBP=∠CEP，PD=PE，然后求出∠DPE=∠DCE=90°，得出结论；
（2）由（1）可知∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证．

解答：（1）∴△PDE为等腰直角三角形
证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
在△BCP和△DCP中，

BC=DC ∠BCP=∠DCP PC=PC

∴△BCP≌△DCP（SAS）；
∴∠CBP=∠CDP，PD=PB
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠CEP，PD=PE
∵∠CFE=∠PFD（对顶角相等）
∴180°-∠PFD-∠CDP=180°-∠CFE-∠CEP
即∠DPE=∠DCE=90°
∴△PDE为等腰直角三角形．

（2）解：∵AB∥CD
∴∠DCE=∠ABC，∠DPE=∠DCE
∴∠DPE=∠ABC
∵∠ABC=56°
∴∠DPE=56°．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP=∠DCP是解题的关键．