Question

如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC的中点，点E在AC边上，以DE为腰作等腰Rt△DEF，连接CF，BF．若CE=1，△CDF的面积为7.5，则BF的长为

 

．

Answer 1

考点：四点共圆,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的判定与性质,圆周角定理,圆内接四边形的性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：作DN⊥AC，DM⊥FC，FK⊥BC，垂足分别为N，M，K，如图所示．易证∠DFE=∠ACB═45°，可得D、E、C、F四点共圆，从而可证到∠DEN=∠DFM，进而可得△DNE≌△DMF，则有DN=DM，NE=MF．易证四边形DNCM是正方形，设正方形DNCM的边长为x，根据△CDF的面积为7.5建立关于x的方程，求出x，从而可求出FC、KC、BK，然后根据勾股定理就可求出BF的长．

解答：证明：作DN⊥AC，DM⊥FC，FK⊥BC，垂足分别为N，M，K，如图所示．
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠DFE=∠ACB=45°，
∴D、E、C、F四点共圆，
∴∠EDF+∠ECF=180°，∠DEC+∠DFC=180°，∠DCF=∠DEF=45°．
∵∠DEN+∠DEC=180°，
∴∠DEN=∠DFM．
在△DNE和△DMF中，

∠DEN=∠DFM ∠DNE=∠DMF DE=DF

．
∴△DNE≌△DMF，
∴DN=DM，NE=MF．
∵∠DNC=∠NCM=∠DMC=90°，
∴四边形DNCM是矩形．
∵DN=DM，
∴矩形DNCM是正方形．
设正方形DNCM的边长为x，
则NC=MC=DM=DN=x，
∴MF=NE=NC-EC=x-1，
∴FC=MC+FM=x+（x-1）=2x-1．
∵△CDF的面积为7.5，
∴

1

2

x（2x-1）=7.5．
解得：x₁=-2.5（舍去），x₂=3．
∴BD=DC=

DM2+MC2

=3

2

，FC=5，
∴KF=FC•sin45°=

5 2

2

．
同理：KC=

5 2

2

，
∴BK=BC-KC=6

2

-

5 2

2

=

7 2

2

，
∴BF=

FK2+BK2

=

37

．
故答案为：

37

．

点评：本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强．而通过证明D、E、C、F四点共圆进而证到△DNE≌△DMF是解决本题的关键．