Question

4．如图，O为坐标原点，⊙O的半径为1，点P是直线y=-2x-6上的动点，过点P作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，连接OA、OB，则四边形OAPB的面积的最小值为$\frac{\sqrt{155}}{5}$．

Answer 1

分析 可把四边形OAPB转化成Rt△AOP和Rt△BOP，则可知当OP最短时，四边形OAPB的面积最小，设直线交x、y轴于点C、D两点，可知OP最短时为△COD的CD边上的高，由等积法可求得OP的长，可求得答案．

解答 解：
如图，连接OP，设直线y=-2x-6交x轴于点C，交y轴于点C，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OA=OB=1，
∴当OP最短时，△AOP和△BOP的面积最小，即四边形OAPB的面积最小，此时OP⊥CD，
在y=-2x-6中，令y=0可求得x=-3，令x=0可求得y=-6，
∴C（-3，0），D（0，-6），
∴OC=3，OD=6，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$CD•OP，
∴3×6=3$\sqrt{5}$OP，解得OP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AOP中，AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{155}}{5}$，
∴S_{四边形OAPB}=2S_△OAP=2×$\frac{1}{2}$AP•OA=$\frac{\sqrt{155}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{155}}{5}$．

点评 本题主要考查切线的性质，确定出满足条件的P的位置，求得AP的长是解题的关键．