Question

15．已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE=AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC=10，AD=4时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OE、DE，证明△AOD≌△EOD，得到∠OED=∠BAC=90°，证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠EOD，根据三角形的外角的性质得到∠BEO=∠EOD，得到OD∥BC，求出OD，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：连接OE、DE，
在△AOD和△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{DA=DE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED=∠BAC=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠AOE=∠B+∠OEB，
∴∠BEO=∠EOD，
∴OD∥BC，又AO=BO，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=5，
由勾股定理得，AO=$\sqrt{O{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
则⊙O的半径为3．

点评 本题考查的是切线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．