Question

14．在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P，求证：CP=CD．

Answer 1

分析 延长AF、CD交于点G，先证△ABF≌△DAE，再证△FCG≌△FBA得GC=CD由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△PGD中CP=$\frac{1}{2}$GD，即PC=CD．

解答 证明：延长AF、CD交于点G，

∵点E、F分别是正方形ABCD的边AB和BC的中点，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAE，BF=AE，
在△ABF与△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABF=∠DAE}\\{BF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BFA=∠AED．
∵∠BFA+∠EAP=90°，
∴∠AED+∠EAP=90°，
∴∠EPG=∠AED+∠EAP=90°．
又∵BF=FC，∠GFC=∠AFB，∠FCG=∠FBA，
在△FCG与△FBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCG=∠FBA}\\{∠GFC=∠AFB}\\{BF=FC}\end{array}\right.$，
∴△FCG≌△FBA（AAS），
∴GC=AB．
∵CD=AB，
∴AB=GC．
∴PC是直角△GPD斜边GD上的中线，
∴PC=$\frac{1}{2}$GD，
即PC=CD．

点评 本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△ABF≌△DAE是解题的关键．