Question

9．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，点D在BC上，且BE=BD，连接AD、DE、CE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）若∠CAD=30°，求∠BEC的度数．

Answer 1

分析 （1）利用“边角边”证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出∠ACB=∠CAB=45°，再求出∠BAD=15°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ADB，再利用全等三角形对应角相等解答．

解答 （1）证明：在△ABD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABC=∠CBE=90°}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；

（2）解：在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∵∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠CAB-∠CAD=45°-30°=15°，
又∵∠ABD=90°，
∴∠ADB=90°-15°=75°，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BEC=∠ADB=75°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．