Question

【题目】如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点.

（1）求证：；

（2）求证：平分；

（3）当，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5.

【解析】

（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ；

（2）只要证明△BPE∽△EPQ，可得∠BEP＝∠EQP，且∠BEP＝∠CQE，可得结论；

（3）由相似三角形的性质可求BE＝3＝EC，可求AP＝4，AQ＝3，即可求PQ的长．

解：（1）和是两个等腰直角三角形，

，

，

即，

，

，

，

（2），

,

，

，

,

，

，且,

，

平分

（3）

，且，，

，

，

，

，

，，

.