Question

2．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=$\sqrt{5}$．
（1）求边AB的长；
（2）求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求出OA、OB，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）根据矩形的性质可得∠BAD=90°，然后求出∠BAO=∠ADH，再求出△AOB和△DHA相似，根据相似三角形对应边成比例求出AH、DH，再求出OH，然后根据点D在第二象限写出即可．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得x=-4，
令x=0，则y=2，
所以OA=4，OB=2，
根据勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAH+∠BAO=90°，
∵DH⊥x轴，
∴∠AHD=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠AHD=∠BOA=90°，
∴△AOB∽△DHA，
∴$\frac{DH}{OA}$=$\frac{AH}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{DH}{4}$=$\frac{AH}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，
解得DH=2，AH=1，
所以，OH=OA+AH=4+1=5，
所以，点D的坐标为（-5，2）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质并确定出相似三角形是解题的关键．