Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，D是上一点，AD与BC交于E，AF⊥DB，垂足为F．

（1）求证：∠ADB＝∠CDE；

（2）若AF＝DC＝6，AB＝10，求△DBC的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）18

【解析】

（1）根据AB=AC，可得出∠ABC=∠BCA，再根据圆内接四边形的性质可得出∠CDE=∠ABC，从而得出答案；
（2）作AM⊥CD于点M，根据题意可得出BF，还可证明△ACM≌△ABF，从而可得出△DBC的面积．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠BCA＝∠ADB，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠CDE＝∠ABC，

∴∠ADB＝∠CDE；

（2）解：作AM⊥CD于点M，

∵AB＝10，AF＝6，

∴BF＝8，

∵AD平分∠BDM，AM＝AF＝6，

∴△ACM≌△ABF，

∴CM＝BF＝8，

∴DF＝DM＝CM﹣CD＝2．

∴BD＝BF+DF＝10＝AB．

∴∠BAD＝∠ADB＝∠ADM，

∴AB∥CD，

∴S△DBC＝S△ADC＝CD×AM＝18．