Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D为BC上一点且∠ADC=60°，若BD=100．
求AC的长．

Answer 1

分析 设CD=x，首先在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数的定义求得AC=$\sqrt{3}$x，然后在Rt△ACB中由AC=BC，得出$\sqrt{3}$x=x+100，求出x，再进一步求得AC的长．

解答 解：∵在Rt△ACD中，∠C=90°，∠ADC=60°，
∴tan60°=$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{3}$x，
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，
∴AC=BC，BD=100，
∴$\sqrt{3}$x=x+100，
解得：x=50（$\sqrt{3}$+1），
∴AC=$\sqrt{3}$x=150+50$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．