Question

【题目】如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接与交于点，过点作的延长线交于点，连接，若，，直接写出的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；

（2）由菱形的性质及勾股定理可求OD＝OB＝2，由直角三角形的性质可求OE的长．

（1）证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB

∴AB＝AD，

又∵AB＝BC，

∴AD＝BC，

又∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝BC，

∴平行四边形ABCD是菱形，

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝BD，

即点O为BD的中点，

又∵，

∴在Rt△BOC中，，

∴BD＝2OB＝4，

∵DE⊥BC，

∴∠BED＝90°，

又∵点O为BD的中点，

∴OE＝BD＝2．