Question

【题目】已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．

（1）求二次函数关系式；

（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．

①求的最小值及取得最小值时点的坐标；

②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）；（2）①最小值为，点坐标为；②，当时，最大值．

【解析】

（1）函数对称轴为x=1，则点B（3，0），用交点式表达式得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；

（2）①连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，交DF于点P，AP+PD=AP+PD，此时AP+PD=AH最小，即可求解；

②根据题意，可分为0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤4三种情况，分别求解，即可得到答案．

解：（1）二次函数对称轴为，点坐标为，

则点坐标为．

又∵点坐标，则

，解得：，

∴函数表达式为；

（2）①连接

∵

∴

在中，依勾股定理得：

∴

过点作于点，交抛物线对称轴于点

则

则

依“垂线段最短”得此时长度为最小值，

即最小值为的长度，

∵

则，

即最小值为．

点坐标为．

②A．当时，如图

依图知：

则：

化简得：

配方得：

根据自变量取值范围，当时，最大值4

B．当时，如图：

四边形

整理得：

配方得：

即时，最大值

C．当时，如图：

根据自变量取值范围，当时，最大值

综上，，当时，最大值．