Question

【题目】如图1，在正方形中，，点是对角线上任意一点（不与、重合），点是的中点，连接，过点作交直线于点．

初步感知：当点与点重合时，比较： （选填“”、“”或“”）．

再次感知：如图1，当点在线段上时，如何判断和数量关系呢？

甲同学通过过点分别向和作垂线，构造全等三角形，证明出；

乙同学通过连接，证明出，，从而证明出．

理想感悟：如图2，当点落在线段上时，判断和的数量关系，并说明理由．

拓展应用：连接，并延长交直线于点．

（1）当时，如图3，直接写出的面积为 ；

（2）直接写出面积的取值范围 ．

Answer 1

【答案】初步感知：＝；理想感悟：PE＝PC，理由见解析；拓展应用：（1）；（2）0＜S≤．

【解析】

初步感知：当点P与点O重合时，则点E与点B重合，根据正方形的性质即可得到结论；

理想感悟：PE＝PC，过P作GH⊥AB于G，交CD于H，由“AAS”可证△EGP≌△PHC，可得结论；

拓展应用：（1）同理作辅助线可知△EGP≌△PHC，证明△DPF∽△BPA，根据相似三角形相似比等于对应高的比得：，计算PH＝，PG＝，然后求出AE的长，根据三角形面积公式可得结论；

（2）设PH＝x，则PG＝9－x，结合之前所得的结论列出S的函数关系式，利用二次函数的性质求得S的取值范围即可．

解：初步感知：当点P与点O重合时，则点E与点B重合，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∵点O是BD的中点，

∴OC＝OB＝BD，

即：PC＝PE，

故答案为：＝；

理想感悟：PE＝PC，理由如下：

如图2，过P作GH⊥AB于G，交CD于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ABD＝45°，∠A＝∠ABC＝90°，

∵GH⊥AB，

∴GH⊥CD，

∴∠EGP＝∠PHC＝90°，

∴∠GEP＋∠GPE＝90°，

∵PE⊥PC，

∴∠EPC＝90°，

∴∠GPE＋∠CPH＝90°，

∴∠GEP＝∠CPH，

∵∠ABD＝45°，∠EGP＝90°，

∴△BGP是等腰直角三角形，

∴BG＝GP，

∵∠EGP＝∠PHC＝∠ABC＝90°，

∴四边形BGHC为矩形，

∴BG＝CH，

∴CH＝GP，

在△EGP与△PHC中，

∴△EGP≌△PHC（AAS），

∴PE＝PC；

拓展应用：（1）如图，过P作GH⊥AB于G，交CD于H，

由题意可知△EGP≌△PHC，

则EG＝PH，

∵∠AGP＝∠PHD＝∠ADC＝90°，

∴四边形AGHD为矩形，

∴AG＝DH，

∵∠BDC＝45°，∠PHD＝90°，

∴△PHD是等腰直角三角形，

∴DH＝PH，

∵，

∴，

∵DC＝AB，

∴，

∵AB∥CD，

∴△DFP∽△BAP，

∴，

又∵GH＝AD＝9，

∴PH＝，PG＝，

∴EG＝DH＝PH＝，

∴AG＝DH＝，

∴AE＝AG＋GE＝，

∴S△APE＝，

故△APE的面积为：，

（2）设PH＝x，则PG＝9－x，

由题意可知：AG＝EG＝DH＝PH＝x，

则S＝

∵0＜x＜9，

∴0＜S≤，

故答案为：0＜S≤．