题目内容
数学课上，老师出示了如下框中的题目．| 如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由． |
（1）特殊入手，探索结论 如图（1），当点E为AB的中点时．确定线段AE与DB的大小关系．直接写出结论：AE
（2）特例启发，如图（2），解答题目判断AE与DB的大小关系，并证明
（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在射线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．
考点：等边三角形的性质,等腰三角形的性质
专题：
分析：（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分点E在AB上和在BA的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到．
（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分点E在AB上和在BA的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到．
解答：解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）因为AE=2，△ABC的边长为1，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
当点E在AB时，同（2）可知BD=AE=2，则CD=BC+BD=1+2=3，
当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
则∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又∵可判定△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=2，
∴CD=BC+BD=2+1=3，
综上所述，CD的长度为3．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
|
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
|
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）因为AE=2，△ABC的边长为1，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
当点E在AB时，同（2）可知BD=AE=2，则CD=BC+BD=1+2=3，
当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
则∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中，
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∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又∵可判定△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=2，
∴CD=BC+BD=2+1=3，
综上所述，CD的长度为3．
点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的关系是解题的关键．
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