Question

对于二次函数y=x²-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数的图象,二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：①利用根的判别式△＞0判定即可；
②根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可；
③根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出m的值；
④根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出m的值，然后把x=2012代入函数关系式计算即可得解．

解答：解：①∵△=（-2m）²-4×1×（-3）=4m²+12＞0，
∴它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；
②∵当x≤1时y随x的增大而减小，
∴对称轴直线x=-

-2m

2×1

≥1，
解得m≥1，故本小题错误；
③∵将它的图象向左平移3个单位后过原点，
∴平移前的图象经过点（3，0），
代入函数关系式得，3²-2m•3-3=0，
解得m=1，故本小题错误；
④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，
∴对称轴为直线x=

4+2008

2

=1006，
∴-

-2m

2×1

=1006，
解得m=1006，
∴函数关系式为y=x²-2012x-3，
当x=2012时，y=2012²-2012×2012-3=-3，故本小题正确；
综上所述，结论正确的是①④共2个．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，主要利用了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的对称性以及增减性，熟记各性质是解题的关键．