Question

14．如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，DE=$\sqrt{3}$，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠EDO=90°，即可证得DE是⊙O的切线；
（2）连接BC交OD于F，先证得四边形DECF为矩形，DE=CF=$\sqrt{3}$，∠DFC=90°，进而得出OD⊥BC，根据垂径定理得出BC=2CF=2$\sqrt{3}$，然后根据勾股定理即可求得线段AC的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAD，
∴AE∥OD，
∴∠AED+∠EDO=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接BC交OD于F，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=∠EDO=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE=CF=$\sqrt{3}$，∠DFC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC=2CF=2$\sqrt{3}$，
∵AB=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，矩形的判定依据垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和矩形是解题的关键．