Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C．

（1）求证：BE＝CE；

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N，若AB＝2．（如图2）

①求证：四边形EMBN的面积为定值；

②设BM＝x，△EMN面积为S，求S最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2．

【解析】

（1）由矩形的性质得出AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，由E是AD中点得出AE＝DE，由SAS证得△BAE≌△CDE，即可得出结论；

（2）①由（1）可知△EBC是等腰直角三角形，易证△ABE是等腰直角三角形，得出∠EBC＝∠ECN＝∠EBM＝45°，证明∠MEB＝∠NEC，由ASA证得△BEM≌△CEN，得出S四边形EMBN＝S△EBC，求出BE＝CE＝，则S四边形EMBN＝S△EBC＝BECE＝4，即可得出结论；

②由①知△BEM≌△CEN，BE＝CE＝，则BM＝CN＝x，BC＝BE＝4，BN＝4﹣x，S＝S四边形EMBN﹣S△BMN＝4﹣BMBN＝（x﹣2）2+2，由＞0，则当x＝2时，S有最小值为2．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵E是AD中点，

∴AE＝DE，在△BAE和△CDE中，

，

∴△BAE≌△CDE（SAS），

∴BE＝CE；

（2）①证明：由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，

∴∠EBC＝45°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴∠EBC＝∠ECN＝∠EBM＝45°，

∵∠MEB+∠BEN＝90°，∠NEC+∠BEN＝90°，

∴∠MEB＝∠NEC，

在△BEM和△CEN中，

，

∴△BEM≌△CEN（ASA），

∴S四边形EMBN＝S△EBC，

∵AB＝2，

∴BE＝CE＝，

∴S四边形EMBN＝S△EBC＝BECE＝×2×2＝4，

∴四边形EMBN的面积为定值；

②解：由①知，△BEM≌△CEN，BE＝CE＝，

∴BM＝CN＝x，BC＝BE＝×2＝4，

∴BN＝4﹣x，

∴S＝S四边形EMBN﹣S△BMN＝4﹣BMBN＝4﹣x（4﹣x）＝x2﹣2x+4＝（x﹣2）2+2，

∵＞0，

∴当x＝2时，S有最小值为2．