Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．

(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

Answer 1

解：（1）∵ADBC

△AEB是由△ADB折叠所得

∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD,  AE=AD

又∵△AFC是由△ADC折叠所得

∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=，FC=CD，AF=AD

∴AE=AF

又∵∠1+∠2=，     

  ∴∠3+∠4=

∴∠EAF=

∴四边形AEMF是正方形。

（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x

根据题意知：BE=BD,  CF=CD

∴BM=x－1;   CM=x－2

在Rt△BMC中,由勾股定理得：

        

  ∴

解之得：      (舍去)

∴

方法二：设：AD=x

∴=   

 ∴-

∵

且

∴     即

解之得：     (舍去)

∴