Question

如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm，的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，BP=CQ
（2）当x为何值时，PQ∥BC
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别用x表示出线段BP和CQ的长，根据其相等求得x的值即可；
（2）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

解答：解：（1）依题意可得：BP=20-4x，CQ=3x
当BP=CQ时，20-4x=3x
∴x=

20

7

（秒）
答：当x=

20

7

秒时，BP=CQ   
（2）AP=4x，AB=20，AQ=30-3x，AC=30
所以当PQ‖BC时，有

AP

AB

=

AQ

AC

即：

4x

20

=

30-3x

30

…（4分）
解得：x=

10

3

（秒）
答：当x=

10

3

秒时，PQ‖BC             
（3）能．
①当△APQ∽△CQB时，有

AP

CQ

=

AQ

CB

即：

4x

3x

=

30-3x

20

解得：x=

10

9

（秒）                   
②当△APQ∽△CBQ时，有

AP

CB

=

AQ

CQ

即：

4x

20

=

30-3x

3x

解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去）
答：当x=

10

9

秒或x=5秒时，△APQ与△CQB相似．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．