Question

如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

，求

S△BPQ

S△ABC

的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）我们先看当

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

解答：解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴

4x

20

=

30-3x

30

∴x=

10

3

（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了

10

3

秒，AP=

40

3

cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为

2

3

，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S_{四边形PQCB}=

5

9

S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=

1

3

S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四边形PQCB}-S_△BCQ═

5

9

S_△ABC-

1

3

S_△ABC=

2

9

S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=

2

9

（3）假设两三角形可以相似
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有

3x

4x

=

20

30-3x

解得x=

10

9

，
经检验，x=

10

9

是原分式方程的解．
此时AP=

40

9

cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有

3x

30-3x

=

20

4x

解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．