题目内容
(2012•宿迁)(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
∠ABC(0°<∠CBE<∠
ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接DE′,
求证:DE′=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
∠ABC(0°<∠CBE<45°).
求证:DE2=AD2+EC2.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/17/f353e317.png)
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求证:DE′=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
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求证:DE2=AD2+EC2.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/17/f353e317.png)
分析:(1)先根据∠DBE=
∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=
∠ABC,再由图形旋转的性质可知BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,故可得出∠DBE′=∠DBE,由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′,故可得出结论;
(2)把△CBE逆时针旋转90°,由于△ABC是等腰直角三角形,故可知图形旋转后点C与点A重合,∠E′AB=∠BCE=45°,所以∠DAE′=90°,由(1)证DE=DE′,再根据勾股定理即可得出结论.
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(2)把△CBE逆时针旋转90°,由于△ABC是等腰直角三角形,故可知图形旋转后点C与点A重合,∠E′AB=∠BCE=45°,所以∠DAE′=90°,由(1)证DE=DE′,再根据勾股定理即可得出结论.
解答:
(1)证明:∵∠DBE=
∠ABC,
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=
∠ABC,
∵△ABE′由△CBE旋转而成,
∴BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,
∴∠DBE′=∠DBE,
在△DBE与△DBE′中,
∵
,
∴△DBE≌△DBE′,
∴DE′=DE;
(2)证明:如图所示:把△CBE逆时针旋转90°,连接DE′,
∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠BCE=45°,
∴图形旋转后点C与点A重合,CE与AE′重合,
∴AE′=EC,
∴∠E′AB=∠BCE=45°,
∴∠DAE′=90°,
在Rt△ADE′中,DE′2=AE′2+AD2,
∵AE′=EC,
∴DE′2=EC2+AD2,
同(1)可得DE=DE′,
∴DE′2=AD2+EC2,
∴DE2=AD2+EC2.
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∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=
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∵△ABE′由△CBE旋转而成,
∴BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,
∴∠DBE′=∠DBE,
在△DBE与△DBE′中,
∵
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∴△DBE≌△DBE′,
∴DE′=DE;
(2)证明:如图所示:把△CBE逆时针旋转90°,连接DE′,
∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠BCE=45°,
∴图形旋转后点C与点A重合,CE与AE′重合,
∴AE′=EC,
∴∠E′AB=∠BCE=45°,
∴∠DAE′=90°,
在Rt△ADE′中,DE′2=AE′2+AD2,
∵AE′=EC,
∴DE′2=EC2+AD2,
同(1)可得DE=DE′,
∴DE′2=AD2+EC2,
∴DE2=AD2+EC2.
点评:本题考查的是图形的旋转及勾股定理,熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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