Question

设PQ是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦．已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ的长等于

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆,解一元二次方程-公式法,相交弦定理

专题：计算题

分析：设PD=x，EQ=y由相交弦定理得PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，代入求出x=y，再代入上式即可求出x的值，即PQ=2x+

1

2

，代入即可求出答案．

解答：解：设PD=x，EQ=y，
∵AB和AC的中点都在PQ上，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∵正△ABC的边长为1，
∴AD=BD=1，AE=CE=1，DE=

1

2

BC=1，
由相交弦定理得：PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，
即x（

1

2

+y）=

1

2

×

1

2

y（

1

2

+x）=

1

2

×

1

2

，
解得：x=y，
即；x（

1

2

+x）=

1

4

，
解得：x=

5

4

-

1

4

，
∴PQ=2×（

5

4

-

1

4

）+

1

2

=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题主要考查了正多边形与圆，相交弦定理，用公式法解一元二次方程等知识点，解此题的关键是利用相交弦定理求出PD和EQ的关系．