Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，下列结论：
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADB=120°；③AD=BD；④DB=2CD．
其中正确的结论共有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据角平分线的作法可得①正确；再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADB=120°，可得②正确；再根据等角对等边可得③正确；根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得④正确．

解答 解：①AD是∠BAC的平分线，结论正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=30°+90°=120°，结论正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，结论正确，
④∵∠C=90°，∠CAD=30°，
∴AD=2CD，
由③知AD=BD，
∴DB=2CD，结论正确．
故选：A．

点评 此题主要考查了角平分线的作法，三角形内角和定理，外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据角平分线的作法得出AD是∠BAC的平分线是解题的关键．