Question

10．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，D为BC上一点，DE⊥OD交AB于E，OD=DE，双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）经过D，E两点，求OA²-AE²的值．

Answer 1

分析 设出D（m，n），然后根据已知证得△OCD≌△DBE（AAS），得出OC=BD，CD=BE，从而得出E（m+n，n-m），即可得出OA=m+n，AE=n-m，然后根据OA²-AE²=（OA+AE）（OA-AE）以及k=xy求得即可．

解答 解：∵DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠EDB=90°，
∵∠ODC+∠COD=90°，
∴∠EDB=∠COD，
在△OCD和△DBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠COD}\\{∠OCD=∠B}\\{OD=DE}\end{array}\right.$
∴△OCD≌△DBE（AAS），
∴OC=BD，CD=BE，
设D（m，n），则E（m+n，n-m），
∴OA=m+n，AE=n-m，
∵双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）经过D，E两点，
∴mn=1，
∴OA²-AE²=（OA+AE）（OA-AE）=（m+n+n-m）（m+n-n+m）=2n•2m=4mn=4．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质以及三角形全等的判定和性质，得出E的坐标是解题的关键．