Question

3．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，M为BC的中点，BF=AE，试判断△MEF是什么形状的三角形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质得出AM=$\frac{1}{2}$BC=BM，AM平分∠BAC，AM⊥BC，∠B=∠C=45°，由SAS判定△BMF≌△AME，得出MF=ME，∠BMF=∠AME，再由角的互余关系得出∠EMF=90°，即可得出结论．

解答 解：△MEF是等腰直角三角形．理由如下：
连接AM，如图所示：
∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=BM，AM平分∠BAC，AM⊥BC，∠B=∠C=45°，
∴∠MAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，∠AMB=90°，
∴∠B=∠MAE，
在△BMF和△AME中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=AM}&{\;}\\{∠B=∠MAE}&{\;}\\{BF=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BMF≌△AME（SAS），
∴MF=ME，∠BMF=∠AME，
∵∠AMF+∠BMF=90°，
∴∠AMF+∠AME=90°，
即∠EMF=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．

点评 此题考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．