Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，AP=BQ；
（2）当t为何值时，△BPQ的面积和△BPD的面积相等；
（3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）先用t表示AP和BQ，再建立等式即可求得；
（2）容易知△BPQ和△BPD高相等，只要使它们的底相等即可得△BPQ和△BPD的面积相等；
（3）以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）∵PD=2t，∴AP=AD-PD=21-2t，
∵CQ=t，∴BQ=BC-CQ=16-t，
∵AP=BQ，
∴21-2t=16-t，
解得t=5；

（2）∵S_△BPQ=S_△BPD，△BPQ和△BPD高相等，
∴△BPQ和△BPD的底也相等，即PD=BQ，
则2t=16-t；
解得t=

16

3

；

（3）如图1，当PB=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=

1

2

BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴EQ=8-

1

2

t，
∴EC=8-

1

2

t+t=8+

1

2

t．
∴2t=8+

1

2

t．
解得：t=

16

3

．

当PQ=BQ时，如图2，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ=∠DEQ=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE=QC=t，
∴PE=t，QE=CD=12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ=

t2+144

．
16-t=

t2+144

，
解得：t=

7

2

；
当BP=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=BE=

1

2

BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴BE=8-

1

2

t，
∴PB=

-8t+ 1 4 t2+208

．
∴16-t=

-8t+ 1 4 t2+208

．
解得：t₁=16+8

3

，t₂=16-8

3

∵0＜t≤10.5
∴t=16-8

3

．
综上所述，t=

16

3

，

7

2

或16-8

3

时以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键．