题目内容
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0＜t＜10）．
（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？
（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．
解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，
∴DQ=t，PC=20-2t，
∵若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC，
∴20-2t=t，
解得：t=
；
（2）线段PH的长不变，
∵AD∥BH，P、Q两点的速度比为2：1，
∴QD：BP=1：2，
∴QE：EP=ED：BE=1：2，
∵EF∥BH，
∴ED：DB=EF：BC=1：3，
∵BC=20，
∴EF=，
∴
=
=
，
∴PH=20cm．
分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；
（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ和PC的长度表达式，推出DQ和PC的长度比为1：2．
∴DQ=t，PC=20-2t，
∵若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC，
∴20-2t=t，
解得：t=
；（2）线段PH的长不变，
∵AD∥BH，P、Q两点的速度比为2：1，
∴QD：BP=1：2，
∴QE：EP=ED：BE=1：2，
∵EF∥BH，
∴ED：DB=EF：BC=1：3，
∵BC=20，
∴EF=
，∴
==，∴PH=20cm．
分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；
（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ和PC的长度表达式，推出DQ和PC的长度比为1：2．
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