Question

如图，梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，cosC=

2

10

．
（1）求BC的长；
（2）试在边AB上确定点P的位置，使△PAD∽△PBC．

Answer 1

分析：（1）过D作BC的垂线，垂足为E，则四边形ABED是矩形，在Rt△CDE中，由三角函数可求EC的值，进而可求BC的长；
（2）设AP=t（t＞0），有两种情况：可先证当

AD

BP

=

AP

BC

时，使得△PAD∽△PBC，代值求得AP=1，或AP=6．或当

AD

BC

=

AP

BP

时，△PAD∽△PBC，代值求得AP=

14

5

．

解答：解：（1）过D作BC的垂线，垂足为E、设EC=x，（x＞0）（1分）
∵梯形ABCD中AD∥BC且∠A=90°
∴ABED是矩形，
∴AB=DE=7，AD=BE=2，
在Rt△CDE中，cosC=

EC

DC

=

x

x2+49

=

2

10

（2分）
解得x=1，即EC=1．
∴BC=BE+EC=3．（2分）

（2）设AP=t（t＞0），则BP=7-t，∵AB∥CD，且∠A=90°，
∴∠B=90°，
当

AD

BP

=

AP

BC

时，使得△PAD∽△PBC，
∵AD=2，BC=3，则有

2

7-t

=

t

3

，整理得t²-7t+6=0，
解得t₁=1，t₂=6．（2分）
即AP=1，或AP=6．
∴当AP=1，或AP=6时，△PAD∽△PBC；（ 1分）
当

AD

BC

=

AP

BP

时，△PAD∽△PBC，
∵AD=2，BC=3，则有

2

3

=

t

7-t

，整理得5t=14，解得t=

14

5

．（2分）
即AP=

14

5

．
∴当AP=

14

5

时，△PAD∽△PBC．（1分）

点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．